Electrostática - Ejercicios desarrollados

1)    Se tiene tres cargas puntuales de 4 x 10^-9 C, 4 x 10^-9 C, – 4 x 10^-9 C; ubicadas en el plano XY, en los puntos (-3;0) , (0; -3) ; (-3; -3) respectivamente (cuyas dimensiones de ubicación están en metros). Determine el vector fuerza electrostática que ejercen sobre una carga de 2 x 10^-9 C situada en origen de coordenadas.

Solución

2)    Se tiene tres cargas puntuales de 6 μC, 6 μC y – 6 μC; situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 400 cm. ¿Cuál es la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de 10 μC situada en el incentro del triángulo?

                                                                      Solución

3)    Se tiene la siguiente configuración de cargas en la siguiente figura:

    

a)     Determine el campo eléctrico y potencial eléctrico en el punto medio de cada uno de los lados del triángulo.

b)     Halle el campo eléctrico en el baricentro del triángulo.

                                                                   Solución

4)    De la siguiente figura:

    

Determine el vector fuerza eléctrica y el vector intensidad del campo eléctrico en el punto C. Sabiendo que, q = 120 x10^-9 C.

 Solución

5)   Determinar el potencial eléctrico en el punto P de acuerdo a la distribución de cargas que se muestra en la figura:

    

Solución

                                                         

EJERCICIOS RESUELTOS

 1)   Se mide el tiempo de vida en segundos, de ciertos microorganismos de una misma especie, obteniéndose los siguientes resultados: 121,80 s; 122,86 s; 122,84 s; 123,10 s; 122,10 s; 123,20 s; 122,80 s; y 122,86 s. Determine:

(a) El valor medio de la medición.

(b) La incertidumbre absoluta de la medición.

(c) La incertidumbre relativa de la medición.

(d) La incertidumbre porcentual de la medición.

 SOLUCIÓN

 

2)   Un tanque que proporciona oxígeno a los pacientes con enfermedades respiratorias, es de forma cilíndrica, cuyas dimensiones son: altura (h = 350,00 ± 0,05 cm) y diámetro (d = 200,00 ± 0,05; cm) ¿Cuál es el volumen del tanque de oxígeno, y cuál es aproximadamente la incertidumbre de este volumen?

 

SOLUCIÓN

 

3)   Un esquiador de masa 60 kg desliza de una cuesta, partiendo del reposo, desde una altura de 50 m. Sabiendo que su velocidad al llegar al final de la cuesta es de 20 m/s, calcule la perdida de energía mecánica debido al roce. 

SOLUCIÓN

4)   Se tiene los vectores:

    Calcular:

(a) El módulo del vector resultante

 , y graficar.

(b) El producto escalar de ambos vectores.

(c) El ángulo que forman ambos vectores.

(d) El producto vectorial ambos vectores.

SOLUCIÓN

5)   Una partícula se mueve en trayectoria plana; siendo las componentes coordenadas del radio-vector que define la posición de la partícula en cualquier instante:  

    

     expresadas “x” e “y” en metros y “t” en segundos. Calcular:

a)    Vector velocidad

b)    Vector aceleración

c)    La aceleración para t = 1s

d)    Velocidad de la partícula en el punto A (5; 5) 

SOLUCIÓN

6)   Una danzante de ballet de masa   59 kg, se pone de puntillas. El diagrama de las fuerzas que actúan sobre su pie se presenta en la figura adjunta. El vector F_o es la reacción normal del suelo sobre el pie, F₁ es la tensión ejercida por el tendón de Aquiles, y F₂ es la fuerza ejercida por los huesos de la pierna sobre el pie. Las líneas de acción de las tres fuerzas concurren en el punto “O”. Considerando que el peso del cuerpo se reparte por igual entre ambos pies, hágase un diagrama de las tres fuerzas concurrentes en “O” y determinar el valor de F₁  y  de F₂ . (considere la gravedad: g = 9,81 m/s²)

SOLUCIÓN

7)   Un semáforo que tiene una masa de 112,25 kg, es sostenido por dos cables flexibles M y N según se muestra en la gráfica adjunta. Determine la tensión de cada cable. (g = 9,8 m/s²)

SOLUCIÓN

 

Ejercicios resueltos de Física General

1. Un paciente debe recibir sus medicamentos por infusión intravenosa, la solución de cloruro de sodio está colocada a mayor altura que el paciente y, después de bajar el líquido usando un equipo de venoclisis, entra en la vena mediante una aguja. Si la presión de la sangre en la vena es de 0,0245 bar, ¿Cuál es la mínima altura necesaria en cm, para que la solución entre en la vena? (Densidad de la sangre 1060 Kg/m³.)

     Solución

    

1.  Un submarino que se encuentra sumergido en el mar soporta una presión total de 45 atm. Determine la profundidad a la que se encuentra dicho submarino. (Densidad del agua de mar = 1,02 g/cm³; Presión atmosférica = 1,013 x 10⁵ Pa)

 Solución

 

2.   ​Por una manguera contra incendios de 6,30 cm de diámetro fluye agua a una relación de 0,012 m³/s. La manguera termina en una boquilla con diámetro interior de 2,25 cm. ¿Cuál es la rapidez con la cual el agua sale de la boquilla?

 Solución 

3. Una barra de hierro a 20ºC se introduce en un horno cuya temperatura se quiere determinar. El alargamiento experimentado por la barra es un centésimo de su longitud inicial. Determine la temperatura del horno. (a_hierro = 1,2 x 10^{- 5}/°C)

     Solución

        

4.   ​Determine la temperatura de equilibrio de la mezcla de 0,5 Kg de agua que se encuentra a 20 ºC y 600 g de alcohol etílico a una temperatura de 45 ºC. Si se sabe que el Calor específico del alcohol etílico es de 0,59 cal/g ºC.

        Solución 

        

5.   A Jorge Reyes se lo ocurrió inventar un termómetro cuyos puntos fijos son: para la fusión del hielo 80 ºJR y para la ebullición del agua   280 ºJR. ¿Cuántos grados JR marcará el termómetro de Jorge Reyes un día en el que un termómetro en grados Celsius marca 40 ºC ?.

      Solución

        

6.  Una de las caras de una placa de cobre de 3cm de espesor se mantiene a 410°C y la otra a 110°C. ¿Qué cantidad de calor se transfiere a través de la placa? Si se sabe que para el cobre:   k = 385 J/s m C⁰

 Solución

Problemas de Elasticidad

1. ¿Cuál debe ser el diámetro mínimo de un cable de acero que se quiere emplear en una grúa diseñada para levantar un peso máximo de 10000 kg. El esfuerzo de ruptura por tracción del acero es de 30x10⁷ Pa. Igual pero si se quiere un  coeficiente de seguridad de 0,6. 

Solución 

2. Un cable de acero de 2 m de largo tiene una sección transversal de 0,3 cm². Se cuelga un torno de 550 kg del cable. Determínese el esfuerzo, la deformación y el alargamiento del cable. Supóngase que el cable se comporta como una varilla con la misma área transversal. El módulo de Young del acero es 200x10⁹ Pa.

Solución 

3. Una varilla metálica de 4 m de largo y sección 0,5 cm² se estira 0,20 cm al someterse a una tensión de 5000 N. ¿Qué módulo de Young tiene el metal? 

Solución 

4. Una cuerda de Nylon se alarga 1.2 m sometida al peso de 80 kg de un alpinista. Si la cuerda tiene 50 m de largo y 7 mm de diámetro, ¿qué módulo de Young tiene el Nylon?. 

Solución 

5. Para construir un móvil, un artista cuelga una esfera de aluminio de 5 kg de un alambre vertical (1) de acero de 0,4 m de largo y sección 3x10^-3 cm². En la parte inferior de la esfera sujeta un alambre similar (2) del cual cuelga un cubo de latón de 10 kg. Para cada alambre calcular la deformación por tensión y el alargamiento.  

Solución 

6. Una prensa hidráulica contiene 0,25 m³ de aceite. Calcúlese la disminución de volumen del aceite cuando se le somete a un aumento de presión de 1.6x10⁷ Pa. El módulo de volumen del aceite es B = 5,0x10⁹ Pa y su compresibilidad es 1/B.         

Solución 

7. Se somete a una muestra de cobre de forma cúbica con 10 cm de arista a una compresión uniforme, aplicando una tensión equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de sus caras. La variación relativa de volumen que se observa es de 7,25x10^-6 (ΔV/Vo). Determinar el módulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el módulo de Young del cobre es 120x10⁹ Pa. Obtener además el módulo de Poisson.

    Solución 

     

8. ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud lo = 0,5 m y 2 mm de diámetro cuando se le aplica una tensión de 450 N?  El módulo de Young del acero es 200 x 10⁹ Pa. 

  Solución 

9. Demostrar que la magnitud l = σ_c/ρg (σ_c = esfuerzo de ruptura por tracción) es igual a la longitud máxima de material que puede mantenerse unida bajo su propio peso. Supóngase una columna de material colgada de un soporte fijo.

Solución 

10. Una mujer distribuye su peso de 500 N igualmente sobre los tacones altos de sus zapatos. Cada tacón tiene 1,25 cm² de área. ¿Qué presión ejerce cada tacón sobre el suelo? Con la misma presión, ¿cuánto peso podrían soportar 2 sandalias planas cada una con un área de 200 cm²?. Sol:  200 N/cm² cada tacón, P = 40 kN

Solución 

11. Se tiene una lámina de cobre de dimensiones 120´60´0.2 cm. ¿Cuál será su deformación lateral cuando se somete a una tracción uniforme de 9.8´10³ N en la dirección de la arista mayor? ¿Cuál será su deformación lateral cuando sobre la lámina descansa  un peso de 10 toneladas uniformemente distribuido sobre ella? Dar en este caso la variación relativa de la superficie mayor y la del volumen. El módulo de Young para el cobre es 120x10⁹ Pa y el módulo de Poisson es 0.352. Sol: e` = -4.01x10^-7, DA/Ao = 8.027x10^-7, DV/Vo = 3.36 x10^-7

12. Se somete a un cuerpo de cobre de forma cúbica y de 1 dm de arista a una fuerza de 1 tonelada, aplicada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Determinar el ángulo de deslizamiento. El módulo de deslizamiento del Cu es de 1.6´10³ kp/mm². Sol: q = 0.35^o, x = 0.0613 cm

13. Una varilla de 1.05 m de largo y peso despreciable está sostenida en sus extremos por alambres A y B de igual longitud. El área transversal de A es de 1 mm² y la de B 4 mm². El módulo de Young de A es 2.4´10¹¹Pa y de B 1.2´10¹¹ Pa. ¿En que punto de la varilla debe colgarse un peso p a fin de producir a) esfuerzos iguales en A y B?  y b) ¿deformaciones iguales en A y B?.

            Sol: a) 0.99 m desde A, b) 0.93 desde A

14.  Calcular la anchura que habría que dar a una correa sin fin de espesor 1 cm y límite de ruptura 10³ N/cm² si se acopla a un motor que funciona a la potencia de 50 cv y le comunica una velocidad de 3 m/s y si se requiere un coeficiente de seguridad de 0.17. Sol: 0.72 m.

15. Sobre un tubo vertical de acero de 20 m de largo y 16 cm de diámetro exterior y 1 cm de espesor se pone un bloque de granito de 14 Tn. Si el módulo de young del acero es 2.05x10¹¹ N/m², determinar el acortamiento experimentado por el tubo. Sol: 2.84 mm

16. Un bloque de gelatina tiene 60 x 60 x 20 mm cuando no está sometido a esfuerzo alguno. Se aplica una fuerza de 0.245 N tangencialmente a la superficie superior (60 x 20), provocándole un desplazamiento de 5 mm relativo a la superficie inferior. Encontrar el esfuerzo cortante, la deformación cortante y el módulo de esfuerzo cortante. Sol: t = 204.2 N/m², g = 0.0833, G = 2451 N/m²

ANÁLISIS VECTORIAL - Ejercicios Resueltos

1.     Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.

            

        Solución

            

    

    

   

2.     Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de a) 0, b) 90, c) 60, d) 150 y d) 180. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño.

3.    Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante tiene 20 unidades de longitud. Dibujar la figura  apropiada.

4.     Dos vectores forman un ángulo de 110. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40 con el vector suma. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.

5.    Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando este forma un ángulo con respecto al eje positivo de las X de a) 50, b) 130 c) 230 y d) 310.

6.    Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50, mientras que el segundo y el tercero forma un angulo de 75.Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.

7.    Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F₁ = 5 N y F₂ = 7 N, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60^° y – 30^°. calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el eje OX.

8.    Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F₁ = 6 kgf, F₂ = 3 kgf y F₃ = 4 kgf, que forman respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45^°, 30^° y -60^°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje  OX.

9.    Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60⁰ y tiene de módulo 4 unidades. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (b) Angulo que forman con el eje Z.

10.  Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: (a) Componentes del vector OP. (b) Módulo  y cosenos directores . (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido contrario.

11.  Dados los vectores a(2,4,6) y b(1,-2,3). Calcular: (a) El vector suma a + b, su módulos y coseno directores. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.

12.   Dados los vectores: a(1,-1,2) y b(-1,3,4). Calcular: (a) El producto escalar de ambos vectores. (b) El ángulo que forman.

13.  Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces son perpendiculares.

14.  Hallar el vector unitario , si las coordenadas son (5, 4,7)

15.  Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos.

16.  Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k), b = 1/7(3i – 6j + 2k), c = 1/7 (6i + 2j – 3k), demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. (b) Que son perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b.

17.  Si el producto vectorial de dos vectores a x b  = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y , respectivamente, calcular su producto escalar.

18.  Dados los vectores: a(2,-1,0), b(3,-2,1). Calcular: (a) (a + b) . c  (b) (a – b) x c (c) (a x b) . c (producto mixto) = abc (d) (a . b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial).

19.  Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1) y d(0,-2,-1). Calcular: (a) (a . b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d).

20.  Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano OXY; y en el dos vectores unitarios cualesquiera u₁ y u₂ que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje OX. (a) Demostrar que: u₁ = cosα i + senα j y u₂ = cosβ i + senβ j

21.  Dados los vectores a(1,3,-2 y b(1,-1,0). Calcular: (a) Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.

22.   Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresado en metros.

23.  Los tres vértices de un triangulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: (a) Área del triangulo, (b) Angulo A.

24.  Tres vértices de un paralelogramo ABDC tienen por coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0), y D(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del vértice C. (b) Área del paralelogramo. (c) Angulo en B.

25.  Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio del producto           escalar.

26.  Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto                    vectorial.