1. Dados los vectores: a
= 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector
diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector
unitario que define la dirección y sentido de c.
Solución
2. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un
ángulo entre ellos de a) 0, b) 90, c) 60, d) 150 y d) 180. Encontrar la
magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño.
3. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15
unidades de longitud cuando su resultante tiene 20 unidades de longitud.
Dibujar la figura apropiada.
4. Dos vectores forman un ángulo de 110. Uno de ellos tiene
20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40 con el vector suma. Encontrar la
magnitud del segundo vector y la del vector suma.
5. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de
15 unidades de longitud cuando este forma un ángulo con respecto al eje
positivo de las X de a) 50, b) 130 c) 230 y d) 310.
6. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4
unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50, mientras
que el segundo y el tercero forma un angulo de 75.Encontrar la magnitud del
vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
7. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos
módulos son: F1 = 5 N y F2 = 7 N, que forman
respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y – 30°.
calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el
eje OX.
8. Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F1
= 6 kgf, F2 = 3 kgf y F3 = 4 kgf, que forman
respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45°, 30°
y -60°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo
de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX.
9. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 600
y tiene de módulo 4 unidades. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (b)
Angulo que forman con el eje Z.
10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de
referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: (a)
Componentes del vector OP. (b) Módulo y
cosenos directores . (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido
contrario.
11. Dados los vectores a(2,4,6) y b(1,-2,3). Calcular: (a)
El vector suma a + b, su módulos y
coseno directores. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
12. Dados los vectores: a(1,-1,2) y b(-1,3,4). Calcular: (a)
El producto escalar de ambos vectores. (b) El ángulo que forman.
13. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores
tienen el mismo módulo, entonces son perpendiculares.
14.
Hallar el vector unitario , si las coordenadas son (5,
4,7)
15.
Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hállese un
vector unitario que sea perpendicular a ambos.
16. Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i
+ 3j
+ 6k),
b
= 1/7(3i – 6j + 2k), c = 1/7 (6i
+ 2j
– 3k),
demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. (b) Que son
perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b.
17. Si el producto vectorial de dos vectores a
x b = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y
, respectivamente, calcular su producto escalar.
18. Dados los vectores: a(2,-1,0), b(3,-2,1). Calcular: (a)
(a
+ b) . c (b) (a
– b) x c (c) (a
x b)
. c (producto mixto) = abc
(d) (a
. b)c (e) (a
x b)
x c
(doble producto vectorial).
19. Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1)
y d(0,-2,-1).
Calcular:
(a) (a
. b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b)
(c
x d)
(d) (a
x b)
x (c
x d).
20. Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano
OXY; y en el dos vectores unitarios cualesquiera u1 y u2
que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje
OX. (a) Demostrar que: u1 = cosα i + senα j y u2 = cosβ i + senβ j
21. Dados los vectores a(1,3,-2 y b(1,-1,0). Calcular: (a)
Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos
vectores como lados.
22. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura
sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresado en metros.
23. Los tres vértices de un triangulo son: A(2,1,3),
B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular:
(a) Área del triangulo, (b) Angulo A.
24. Tres vértices de un paralelogramo ABDC tienen por
coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0), y D(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del
vértice C. (b) Área del paralelogramo. (c) Angulo en B.
25.
Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio
del producto escalar.
