sábado, 30 de abril de 2016

ANÁLISIS VECTORIAL - Ejercicios Resueltos


1.     Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.
            
        Solución
            
    

    

   

2.     Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de a) 0, b) 90, c) 60, d) 150 y d) 180. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño.

3.    Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante tiene 20 unidades de longitud. Dibujar la figura  apropiada.
4.     Dos vectores forman un ángulo de 110. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40 con el vector suma. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.
5.    Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando este forma un ángulo con respecto al eje positivo de las X de a) 50, b) 130 c) 230 y d) 310.
6.    Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50, mientras que el segundo y el tercero forma un angulo de 75.Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
7.    Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 N y F2 = 7 N, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y – 30°. calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el eje OX.
8.    Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F1 = 6 kgf, F2 = 3 kgf y F3 = 4 kgf, que forman respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45°, 30° y -60°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje  OX.
9.    Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 600 y tiene de módulo 4 unidades. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (b) Angulo que forman con el eje Z.
10.  Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: (a) Componentes del vector OP. (b) Módulo  y cosenos directores . (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido contrario.
11.  Dados los vectores a(2,4,6) y b(1,-2,3). Calcular: (a) El vector suma a + b, su módulos y coseno directores. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
12.   Dados los vectores: a(1,-1,2) y b(-1,3,4). Calcular: (a) El producto escalar de ambos vectores. (b) El ángulo que forman.

13.  Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces son perpendiculares.
14.  Hallar el vector unitario , si las coordenadas son (5, 4,7)

15.  Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos.

16.  Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k), b = 1/7(3i – 6j + 2k), c = 1/7 (6i + 2j – 3k), demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. (b) Que son perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b.

17.  Si el producto vectorial de dos vectores a x b  = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y , respectivamente, calcular su producto escalar.

18.  Dados los vectores: a(2,-1,0), b(3,-2,1). Calcular: (a) (a + b) . c  (b) (a – b) x c (c) (a x b) . c (producto mixto) = abc (d) (a . b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial).

19.  Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1) y d(0,-2,-1). Calcular: (a) (a . b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d).

20.  Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano OXY; y en el dos vectores unitarios cualesquiera u1 y u2 que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje OX. (a) Demostrar que: u1 = cosα i + senα j y u2 = cosβ i + senβ j
21.  Dados los vectores a(1,3,-2 y b(1,-1,0). Calcular: (a) Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.
22.   Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresado en metros.
23.  Los tres vértices de un triangulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: (a) Área del triangulo, (b) Angulo A.

24.  Tres vértices de un paralelogramo ABDC tienen por coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0), y D(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del vértice C. (b) Área del paralelogramo. (c) Angulo en B.

25.  Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio del producto           escalar.

26.  Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto                    vectorial.